ahlenfolge   Das Pascal'sche Dreieck ist nach dem französischen Philosophen und Mathematiker Blaise Pascal (1623-1668) benannt. Es war zwar schon lange vor Pascal bekannt, doch er hat es erstmalig ausführlich beschrieben. Das Pascal'sche oder - wie es auch genannt wird - das arithmetische Dreieck ist eine nach unten nicht begrenzte Anordnung von natürlichen Zahlen in Dreiecksform, in der die äußeren Zahlen jeder Reihe Einsen sind und die anderen sich als die Summe der beiden jeweils über ihnen stehenden Zahlen ergeben. Die ersten acht Zeilen sind mithin:

Pascal notierte eine Reihe erstaunlicher Eigenschaften der in die­sem Dreieck vorkommenden Zahlen. Die bekannteste und wohl wichtigste dieser Eigenschaften ist, dass die Zahlen in der n-ten Reihe die Binomialkoeffizienten kr des Ausdrucks

(x + y)ⁿ = k₀xⁿ + k₁x^n-1y + ... + k_n-1xy^n-1 + k_nyⁿ

sind. Gewiss erinnern Sie sich, dass der Ausdruck (x + y)² als Ergebnis die Summe x² + 2xy + y² hat. Die zweite Reihe des Pascal'schen Dreiecks wird demzufolge von den Koeffizienten 1, 2 und l gebildet (die l an der Spitze des Dreiecks möge als nullte Reihe gelten). Sollten Sie aus irgendeinem Grund wissen wollen, wie groß (x + y)⁶ ist, dann brauchen Sie also nur in die sechste Reihe des Pascal'schen Dreiecks zu schauen, und schon können Sie das Ergebnis anschreiben:

(x + y)⁶ = x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ +15 x²y⁴ + 6xy⁵ + y⁶

Im arithmetischen Dreieck ist neben den Binomialkoeffizienten eine Reihe berühmter Zahlenfolgen enthalten: die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, ..., Figurenzahlen (die Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10, ..., die Quadratzahlen 1, 4, 9,16, ... usw.), die Fibonacci-Folge 1,1,2,3,5,8, ...u.a.

Jahrhunderte hindurch war das arithmetische Dreieck Gegenstand immer neuer Betrachtungen und Quelle von Entdeckungen. Es vergeht auch heute kaum ein Jahr, in dem in der mathematischen Literatur nicht weitere Beiträge über das Neueste von dieser berühmten Figur erscheinen.

Wieso aber ist das Sierpinski-Dreieck die Auferstehung des Pascal'schen Dreiecks? Wie entsteht aus dem Pascal'schen ein Sierpinski-Dreieck?

Die Antwort ist kurz und bündig: indem man alle Zahlen des Pascal'schen Dreiecks durch 2 teilt und an die Stelle der ursprünglichen Zahlen den Rest schreibt, der bei ihrer Teilung durch 2 übrig bleibt, d.h. 1, wenn die Zahl ungerade ist, oder 0, wenn sie gerade ist. Am Rand bleibt 1 als 1 stehen. Die ersten acht Zeilen lauten dann:

Das ist genau die Struktur, die ein Sierpinski-Dreieck hat! Von Benoit Mandelbrot stammte daher der Vorschlag, das Pascal'sche Dreieck (mod 2), in dem alle Zahlen durch 2 geteilt sind und nur der Rest angeschrieben wird, als Sierpinski-Dichtung (gasket) zu benennen.   - (kroeb)

Zahlenfolge ⁽²⁾