alindromisierung   Die erste wunderbare Eigenschaft von Zahlen im Hinblick auf Palindromstrukturen besteht darin, dass jede Zahl entweder selbst ein Palindrom ist oder, wenn sie es nicht ist, sich in ein solches verwandeln kann.
Zahlen wie 123454321,990099 oder 101000101 sind von Haus aus Palindrome. Sie bleiben sich gleich, wenn man sie umkehrt. Geht man die Reihe der natürlichen Zahlen durch, so sieht man, dass Palindrome - beginnend mit 11, 22, 33 usw. - nicht etwa willkürlich und völlig unregelmäßig aufeinander folgen, sondern in einer relativ leicht durchschaubaren Ordnung, und dass ihre Dichteverteilung unter den natürlichen Zahlen für jeden Abschnitt der Zahlengeraden genau angegeben werden kann.

Natürlich gibt es viel mehr Zahlen, die keine Palindrome sind. Jede von ihnen kann jedoch zu einem Palindrom werden, wenn sie sich bestimmten Operationen unterzieht. Der erste Schritt auf dem Weg zu einem Palindrom besteht darin, dass sich die Zahl umkehren muss bzw. dass wir sie umkehren. Sodann verknüpfen wir Zahl und Umkehrzahl, indem wir sie entweder addieren oder subtrahieren. Das ist wahrlich nicht schwer. Nehmen wir z.B. die 17. Ihre Umkehrzahl ist die 71. Addieren wir jetzt Zahl und Umkehrzahl, so erhalten wir 88, und diese Zahl ist ein Palindrom. In diesem Fall sind wir gleich im ersten Schritt, der aus Umkehrung (Inversion) und Addition besteht, zu einem Palindrom gelangt. Bei anderen Zahlen dauert es etwas länger, bis sie das ersehnte Palindromstadium erreichen. Die 69 etwa muss die Operation «Umkehren und Addieren» viermal über sich ergehen lassen, ehe sie zu einem Palindrom wird: 69 + 96 - 165,165 + 561 = 726, 726 + 627 = 1453,1453 + 3541 = 4994.

Die Anzahl der Operationen, die eine Zahl benötigt, um ein Palindrom zu werden, soll die palindromische Ordnung dieser Zahl heißen. Die 17 hat also die palindromische Ordnung 1, die 69 die palindromische Ordnung 4. Ein Palindrom hat in dieser Redeweise selbstverständlich die Ordnung null.

Kann aber wirklich jede beliebige Zahl auf diese Weise zu einem Palindrom werden? Und zwar in endlich vielen Schritten? Oder gibt es auch Zahlen, die auf diese Weise nie auf ein Palindrom führen? Die Betonung Hegt auf den Worten «auf diese Weise», denn es zeigt sich, dass bei fortlaufender Inversion und Addition von Zahl und Umkehrzahl nicht jede Zahl ein Palindrom hervorbringt.  - (kroeb)