Liebesobjekt

iebesobjekt Die logarithmische Spirale hat eine Reihe einzigartiger Eigenschaften, weshalb sie von einem ihrer größten Liebhaber, Jakob Bernoulli, auch als spira mirabilis („wundersame Spirale“) bezeichnet wurde:

Logarithmische Spirale: alle durch den
Pol gehenden Geraden schneiden die Kurve
unter dem gleichen Tangentenwinkel

Das Vorzeichen von $ak$ gibt die anschauliche Drehrichtung der Spirale in der Ebene wider.
Alle durch den Pol gehenden Geraden schneiden die Kurve – also ihre Tangenten – unter dem gleichen Tangentenwinkel $\bar \alpha$ mit $\tan \bar \alpha = \tfrac {1}{k} = \cot \alpha$ und daher $\bar \alpha = \tfrac {\pi}{2} - \alpha$ (siehe Abbildung). Man kann dies sogar als Eigenschaft fordern und so logarithmische Spiralen definieren (siehe ihre Darstellung in Form einer Differentialgleichung).
Die Spirale umkreist den Ursprung unendlich oft, ohne ihn zu erreichen (asymptotischer Punkt).
Obwohl die Kurve den Pol, den sie "unendlich" oft umkreist, für keinen endlichen Winkelwert erreicht, ist die Bogenlänge von jedem Kurvenpunkt bis zum Pol endlich und beträgt $s(\varphi)=a\tfrac{\sqrt{1+k^2}}{k}e^{k\varphi}$ .
Mit jeder Windung wächst der Radius um einen konstanten Faktor:

$r ( \varphi +2 \pi) = a e^{k( \varphi +2 \pi)} = a e^{k \cdot 2\pi} e^{k\varphi} = (e^{2\pi})^k r ( \varphi)$

mit e^2π ≈ 535,5 in einer Potenz der Steigung k (daher ergeben nur relativ flache Spiralen mit k ≪ 1 „hübsche“ Schnecken). Diese Eigenschaft unterscheidet alle logarithmischen Spiralen von den archimedischen, die sich bei jeder Windung um eine Konstante ausdehnen (ihre Steigung nimmt dabei ab).

Die logarithmische Spirale ist – in Verallgemeinerung der obigen Herleitung – selbstähnlich (invariant) gegenüber einer zentrischen Streckung um den Faktor $e^{k \gamma}$ bei gleichzeitiger Drehung um den Winkel $\gamma$ .

Das gilt für die konstant wachsende Archimedesspirale nicht: Darum scheinen rotierende Archimedesspiralen „nach außen“ zu wandern, aber logarithmische perspektivisch auf den Beobachter zuzukommen.

Die Kurve ist ihre eigene Evolute.
Die Kurve ist ihre eigene Brennlinie (Kaustik).
Die Kurve ist ihre eigene Fußpunktkurve.
Eine Inversion der Kurve ( $r \mapsto \tfrac 1 r$ ) führt zu Drehung und Spiegelung der Kurve an der Y-Achse (für $|a| = 1$ nur zur Spiegelung); aus einer linksdrehenden logarithmischen Spirale wird eine rechtsdrehende und umgekehrt.
Alle Spiralen gleicher Steigung sind ähnlich. - Wikipedia