iebesobjekt
Die logarithmische Spirale hat eine Reihe einzigartiger Eigenschaften, weshalb sie von einem ihrer größten Liebhaber, Jakob Bernoulli, auch als spira mirabilis („wundersame Spirale“) bezeichnet wurde:
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Logarithmische Spirale: alle durch den Pol gehenden Geraden schneiden die Kurve unter dem gleichen Tangentenwinkel |
- Das Vorzeichen von gibt die anschauliche Drehrichtung der Spirale in der Ebene wider.
- Alle durch den Pol gehenden Geraden schneiden die Kurve – also ihre Tangenten – unter dem gleichen Tangentenwinkel mit und daher
(siehe Abbildung). Man kann dies sogar als Eigenschaft fordern und so
logarithmische Spiralen definieren (siehe ihre Darstellung in Form einer
Differentialgleichung).
- Die Spirale umkreist den Ursprung unendlich oft, ohne ihn zu erreichen (asymptotischer Punkt).
- Obwohl die Kurve den Pol, den sie "unendlich" oft umkreist, für keinen endlichen Winkelwert erreicht, ist die Bogenlänge von jedem Kurvenpunkt bis zum Pol endlich und beträgt .
- Mit jeder Windung wächst der Radius um einen konstanten Faktor:
- mit e2π ≈ 535,5 in einer Potenz der Steigung k (daher ergeben nur relativ flache Spiralen mit k ≪ 1 „hübsche“ Schnecken). Diese Eigenschaft unterscheidet alle logarithmischen Spiralen von den archimedischen, die sich bei jeder Windung um eine Konstante ausdehnen (ihre Steigung nimmt dabei ab).
- Die logarithmische Spirale ist – in Verallgemeinerung der obigen Herleitung – selbstähnlich (invariant) gegenüber einer zentrischen Streckung um den Faktor bei gleichzeitiger Drehung um den Winkel .
- Das gilt für die konstant wachsende Archimedesspirale nicht: Darum
scheinen rotierende Archimedesspiralen „nach außen“ zu wandern, aber
logarithmische perspektivisch auf den Beobachter zuzukommen.
- Die Kurve ist ihre eigene Evolute.
- Die Kurve ist ihre eigene Brennlinie (Kaustik).
- Die Kurve ist ihre eigene Fußpunktkurve.
- Eine Inversion der Kurve () führt zu Drehung und Spiegelung der Kurve an der Y-Achse (für nur zur Spiegelung); aus einer linksdrehenden logarithmischen Spirale wird eine rechtsdrehende und umgekehrt.
- Alle Spiralen gleicher Steigung sind ähnlich.
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